Matematică: Rezolvare Problemă Cu Cât Și Rest

Salut, matematicieni și pasionați de cifre! Astăzi ne aducem aminte de zorii algebrei, când împărțirea cu rest ne dădea bătăi de cap, dar și satisfacția rezolvării. Vom desluși misterul unei probleme clasice: aflați două numere naturale știind că împărțindu-le, obținem un cât de 6 și un rest de 5, iar suma lor este fix 166. Sună complicat? Stai liniștit, vom lua totul pas cu pas, ca la carte, pentru a ajunge la soluția perfectă. Pregătiți pixurile și hârtiile, căci urmează o sesiune de matematică distractivă și educativă!

Înțelegerea problemei: Cât și Rest în Acțiune

Hai să ne aducem aminte ce înseamnă împărțirea cu rest în lumea numerelor naturale. Când spunem că împărțind două numere naturale obținem un cât și un rest, ne referim la relația fundamentală deîmpărțit = cât * împărțitor + rest. În cazul nostru, avem două numere necunoscute. Să le numim a și b. Problema ne spune că, atunci când împărțim unul dintre ele la celălalt, obținem câtul 6 și restul 5. Să presupunem, fără a pierde din generalitate, că a este deîmpărțitul și b este împărțitorul. Asta înseamnă că putem scrie prima ecuație a sistemului nostru astfel: a = 6 * b + 5. Această ecuație ne spune exact cum se leagă cele două numere prin operația de împărțire. Este esențial să înțelegem această relație, pentru că ea stă la baza întregii rezolvări. Fără ea, ne-am pierde în speculații. De asemenea, trebuie să ne amintim că restul (în cazul nostru 5) trebuie întotdeauna să fie mai mic decât împărțitorul (adică b). Această condiție, 5 < b, este crucială și ne va ajuta să validăm soluția finală. Deci, avem deja o informație prețioasă: împărțitorul b trebuie să fie un număr natural mai mare decât 5.

Problema ne mai oferă o informație vitală: suma celor două numere este 166. Aceasta ne permite să scriem a doua ecuație: a + b = 166. Acum, dragii mei, avem un sistem de două ecuații cu două necunoscute: prima ecuație care descrie relația de împărțire (a = 6b + 5) și a doua ecuație care descrie suma lor (a + b = 166). Un sistem clasic, gata de a fi rezolvat! Mai departe, vom vedea cum combinăm aceste două informații pentru a găsi valorile exacte ale lui a și b.

Metoda Substituției: Pas cu Pas spre Soluție

Acum că am pus bazele, hai să trecem la treabă și să aplicăm metoda substituției pentru a rezolva sistemul nostru de ecuații. Această metodă este super utilă în algebră și implică înlocuirea unei expresii dintr-o ecuație în cealaltă. În cazul nostru, ecuația a = 6b + 5 ne oferă o expresie directă pentru a. Putem lua această expresie și să o înlocuim în a doua ecuație, a + b = 166. Deci, în loc să scriem a, vom scrie (6b + 5). Astfel, a doua ecuație devine: (6b + 5) + b = 166. Vedeți, acum avem o singură ecuație, dar cu o singură necunoscută, b. Asta e ceea ce ne doream! Mai departe, trebuie să simplificăm această ecuație. Vom grupa termenii asemenea: 6b și b devin 7b. Deci, ecuația se transformă în 7b + 5 = 166. Acum, scopul nostru este să izolăm b. Pentru a face asta, vom scădea 5 din ambii membri ai ecuației: 7b + 5 - 5 = 166 - 5. Asta ne dă 7b = 161. Ultima etapă pentru a găsi b este să împărțim ambii membri la 7: b = 161 / 7. Hai să facem și această împărțire. Putem observa că 161 este un multiplu de 7. Dacă facem calculul, 161 / 7 ne dă 23. Deci, am găsit prima noastră valoare: b = 23. Felicitări, ați rezolvat jumătate din problemă!

Acum că știm valoarea lui b, putem găsi cu ușurință și valoarea lui a. Putem folosi oricare dintre ecuațiile inițiale. Să o luăm pe cea mai simplă, a + b = 166. Știm că b = 23, deci înlocuim: a + 23 = 166. Pentru a găsi a, scădem 23 din ambii membri: a = 166 - 23. Calculând, obținem a = 143. Deci, a doua valoare este a = 143. Am găsit ambele numere! Dar mai e un pas important: verificarea. Vom face asta în secțiunea următoare, ca să fim siguri că totul e corect și că am aplicat corect principiile de matematică.

Verificarea Soluției: Totul se Potrivește?

Acum vine partea cea mai satisfăcătoare: verificarea soluției! După ce am muncit să găsim numerele a = 143 și b = 23, trebuie să ne asigurăm că ele respectă toate condițiile din problema inițială. Să le luăm pe rând, ca niște detectivi ai cifrelor. Prima condiție: suma lor trebuie să fie 166. Hai să vedem: a + b = 143 + 23. Calculând, obținem 166. Bingo! Prima condiție este îndeplinită. Excelent! Acum, să trecem la a doua condiție, cea mai interesantă: împărțirea unuia la celălalt. Problema spunea că, împărțind cele două numere, obținem câtul 6 și restul 5. Să vedem dacă 143 împărțit la 23 ne dă acest rezultat. Putem face împărțirea: 143 / 23. Câtul este 6 (deoarece 6 * 23 = 138). Acum, să calculăm restul: 143 - 138 = 5. Deci, 143 = 6 * 23 + 5. Avem câtul 6 și restul 5. Asta înseamnă că și a doua condiție este perfect respectată! Mai mult, trebuie să ne amintim și condiția implicită: restul (5) trebuie să fie mai mic decât împărțitorul (23). Și da, 5 < 23. Totul se potrivește! Am aplicat corect matematica și am ajuns la o soluție validă și verificată. Este o senzație grozavă, nu-i așa?

Prin urmare, cele două numere naturale căutate sunt 143 și 23. Am rezolvat problema demonstrând cum matematica, prin metode precum substituția, ne ajută să deslușim mistere și să găsim soluții logice. Sper că v-a plăcut această mică incursiune în lumea numerelor și că ați înțeles fiecare pas. Până data viitoare, continuați să explorați și să rezolvați! La revedere!