Integral De Cos(x): Método De Simpson Passo A Passo

Dec 10, 2025 by Admin 52 views

E aí, galera da matemática! Hoje a gente vai mergulhar num probleminha super interessante: calcular o valor aproximado da integral definida de cos(x) no intervalo de 0 a 1, usando o método de Simpson com apenas duas subintervalos. Esse método é uma ferramenta poderosa quando a gente precisa estimar integrais que são difíceis ou impossíveis de resolver analiticamente. E olha só, temos algumas alternativas para escolher. Bora desvendar qual é a certa e entender o porquê?

Desvendando a Integral de cos(x) com o Método de Simpson

Primeiro, vamos entender o que essa questão tá pedindo. A gente quer achar o valor aproximado da integral $\int_0^1 \cos(x) dx$ . A função é $\cos(x)$ , e o intervalo é de 0 a 1. O truque aqui é usar o método de Simpson com duas subintervalos. Por que duas subintervalos? Porque isso simplifica o cálculo e nos dá uma boa aproximação com poucas etapas. O método de Simpson, especialmente a regra de Simpson 1/3 (que é a que usamos com um número par de subintervalos), é conhecido por ser mais preciso que outros métodos numéricos simples, como o trapézio, porque ele usa parábolas para aproximar a curva, em vez de linhas retas.

Entendendo o Método de Simpson 1/3

O método de Simpson 1/3 é uma técnica de integração numérica que aproxima a área sob uma curva usando polinômios de grau 2 (parábolas) em vez de segmentos de reta. Para aplicá-lo, precisamos que o número de subintervalos, 'n', seja par. A fórmula geral para o método de Simpson 1/3 é dada por:

$\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)]$

Onde:

a e b são os limites inferior e superior da integração.
n é o número de subintervalos (que deve ser par).
h é a largura de cada subintervalo, calculada como $h = \frac{(b-a)}{n}$ .
x_i são os pontos dentro do intervalo, onde $x_i = a + i \times h$ para $i = 0, 1, 2, \dots, n$ .

No nosso caso, temos $a = 0$ , $b = 1$ , e $n = 2$ . Isso significa que teremos $n+1 = 3$ pontos de avaliação da função.

Calculando os Parâmetros Necessários

Vamos colocar a mão na massa e calcular os valores que precisamos para aplicar a fórmula. Com $a = 0$ , $b = 1$ e $n = 2$ , a largura de cada subintervalo, h, é:

$h = \frac{(b-a)}{n} = \frac{(1-0)}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$

Agora, vamos definir os pontos $x_0, x_1, x_2$ dentro do intervalo [0, 1]:

$x_0 = a = 0$
$x_1 = a + h = 0 + 0.5 = 0.5$
$x_2 = a + 2h = 0 + 2 \times 0.5 = 1$

Perfeito! Temos os pontos onde vamos avaliar a nossa função $f(x) = \cos(x)$ .

Avaliando a Função nos Pontos Chave

Agora é hora de calcular os valores da função $\cos(x)$ nesses pontos que encontramos:

$f(x_0) = \cos(0)$ Sabemos que o cosseno de 0 radianos é 1. Então, $\cos(0) = 1$ .
$f(x_1) = \cos(0.5)$ Aqui, precisamos usar uma calculadora científica (ou lembrar dos valores aproximados). $\cos(0.5)$ radianos é aproximadamente 0,87758.
$f(x_2) = \cos(1)$ Da mesma forma, $\cos(1)$ radiano é aproximadamente 0,54030.

Guardem esses valores, pessoal, pois eles são cruciais para o próximo passo!

Aplicando a Fórmula de Simpson

Com todos os valores em mãos, vamos agora substituir tudo na fórmula do método de Simpson 1/3. Lembrem-se que para $n=2$ , a fórmula simplifica para:

$\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)]$

Agora, é só plugá-los:

$\int_0^1 \cos(x) dx \approx \frac{0.5}{3} [\cos(0) + 4\cos(0.5) + \cos(1)]$

Substituindo os valores que calculamos:

$\approx \frac{0.5}{3} [1 + 4(0.87758) + 0.54030]$

Vamos fazer as contas:

Primeiro, o termo dentro dos colchetes:

$1 + 4(0.87758) + 0.54030 = 1 + 3.51032 + 0.54030 = 5.05062$

Agora, multiplicamos por $h/3$ :

$\approx \frac{0.5}{3} \times 5.05062$

$\approx 0.166666... \times 5.05062$

$\approx 0.84177$

E aí está! O valor aproximado que encontramos usando o método de Simpson com duas subintervalos é de aproximadamente 0,84177.

Comparando com as Alternativas e a Resposta Correta

Agora, vamos dar uma olhada nas alternativas que nos foram dadas:

A) 0,5403 B) 0,8415 C) 0,3012 D) 0,6829

Nosso resultado, 0,84177, está super perto de uma das opções. Se a gente arredondar um pouquinho, vemos que a alternativa B) 0,8415 é a que mais se aproxima do nosso cálculo. A pequena diferença pode vir de arredondamentos nos valores de $\cos(0.5)$ e $\cos(1)$ que usamos.

A Justificativa Técnica

Para ter certeza absoluta, vamos calcular o valor exato da integral analiticamente e comparar. A integral de $\cos(x)$ é $\sin(x)$ . Avaliando nos limites:

$\int_0^1 \cos(x) dx = [\sin(x)]_0^1 = \sin(1) - \sin(0)$

Sabemos que $\sin(0) = 0$ . Então, o valor exato é $\sin(1)$ .

Usando uma calculadora, $\sin(1)$ radiano é aproximadamente 0,84147. Nosso resultado de 0,84177 está incrivelmente próximo do valor exato! Isso mostra a eficiência do método de Simpson, mesmo com poucas subintervalos.

Conclusão: Dominando a Integração Numérica

E aí, pessoal, viram como é tranquilo? Usando o método de Simpson com duas subintervalos, conseguimos uma aproximação muito boa para a integral de $\cos(x)$ de 0 a 1. A alternativa correta é a B) 0,8415, que é o valor mais próximo do nosso cálculo (0,84177) e do valor exato (0,84147). O segredo está em entender a fórmula, calcular os pontos corretamente e ter atenção nas avaliações da função. A matemática numérica é uma ferramenta fantástica que nos ajuda a resolver problemas do mundo real onde as soluções exatas são complicadas. Continuem praticando, pessoal, e logo vocês estarão craques nisso!

Palavras-chave: método de Simpson, integral definida, cos(x), integração numérica, subintervalos, matemática, aproximação, cálculo numérico, $\sin(1)$ , $\cos(0.5)$ , $\cos(1)$ .