Алгебра 7 Класс: Решаем Примеры И Уравнения
Всем привет, ребята! Сегодня мы с вами погрузимся в увлекательный мир алгебры 7 класса. Готовьтесь, будет интересно! Мы разберем несколько типовых заданий, которые часто встречаются в учебниках и на контрольных. Эти знания помогут вам не только успешно справиться с домашним заданием, но и заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения математики. Так что устраивайтесь поудобнее, и давайте приступим!
1. Находим значение выражения: 5162 - 516 - 512
Начнем мы с вами с простого, но важного навыка – вычисления значений выражений. Вот такое у нас первое задание: найти значение выражения 5162 - 516 - 512. Казалось бы, что тут сложного? Просто вычитание. Но давайте подойдем к этому с умом, чтобы не запутаться и сделать все максимально быстро и правильно. Во-первых, мы можем выполнить вычитание по порядку: сначала вычесть 516 из 5162, а затем из полученного результата вычесть 516. Давайте попробуем:
5162 - 516 = 4646
Теперь из 4646 вычитаем 512:
4646 - 512 = 4134
Итак, значение нашего выражения равно 4134. Но есть и другой способ, который может быть даже проще, если вы заметите определенную закономерность. Обратите внимание на числа 516 и 512. Их сумма равна 1028. Что если мы сначала сложим эти два числа, а потом вычтем получившуюся сумму из 5162? Это возможно благодаря сочетательному свойству вычитания: a - b - c = a - (b + c). Проверим:
516 + 512 = 1028
Теперь вычтем 1028 из 5162:
5162 - 1028 = 4134
Как видите, результат тот же! Какой способ выбрать – решать вам. Главное – получить правильный ответ. Этот пример показывает, что иногда стоит посмотреть на выражение целиком, чтобы найти более изящное решение. В алгебре, как и в жизни, часто есть несколько путей к цели, и умение выбирать оптимальный – это уже половина успеха. Держите в уме, что математика – это не только формулы, но и логика. И эти простые арифметические действия – отличная тренировка для вашего логического мышления. Не бойтесь экспериментировать с порядком действий, если это позволяет математическое правило. Иногда это может сэкономить кучу времени и сил. И помните, что даже в таких, казалось бы, элементарных задачах кроется потенциал для развития навыков решения проблем. Главное – внимательно смотреть на числа и не бояться применять свойства арифметических действий. Удачи в дальнейших вычислениях!
2. Находим значение выражения: 0,74x² + 2,6x при x = 10
Следующий наш пункт – это вычисление значения алгебраического выражения с переменной. Перед нами стоит задача: найти значение выражения 0,74x² + 2,6x, если x = 10. Здесь нам нужно будет подставить значение переменной x в выражение и выполнить все необходимые арифметические операции. Самое главное – делать это аккуратно, особенно когда дело доходит до возведения в степень и умножения десятичных дробей. Итак, наш x равен 10. Подставляем его в выражение:
0,74 * (10)² + 2,6 * 10
Первым делом, конечно же, возводим 10 в квадрат. 10² – это 10 * 10, что равно 100. Теперь наше выражение выглядит так:
0,74 * 100 + 2,6 * 10
Теперь выполняем умножение. Умножить десятичную дробь на 100 – это очень просто, нужно просто передвинуть запятую на два знака вправо: 0,74 * 100 = 74. А 2,6 * 10 – это тоже просто, передвигаем запятую на один знак вправо: 2,6 * 10 = 26. Теперь у нас получилось:
74 + 26
И последнее действие – сложение: 74 + 26 = 100.
Вот и все! Значение выражения при x = 10 равно 100. Видите, как это просто? Главное – знать порядок действий и правила работы с десятичными дробями и степенями. Этот тип заданий очень важен, так как он напрямую связан с реальными расчетами, где нам часто приходится подставлять значения в формулы. Например, при расчете площади, объема, скорости или стоимости. Практикуйтесь как можно чаще, подставляйте разные значения, чтобы почувствовать уверенность. Понимание того, как работают переменные и выражения, – это ключ к решению более сложных задач в будущем. Не бойтесь использовать калькулятор для проверки, если сомневаетесь, но старайтесь сначала решать самостоятельно. Это развивает математическую интуицию. И помните, что каждое решенное вами задание – это шаг вперед в освоении алгебры. Продолжайте в том же духе, и у вас все получится!
3. Решаем уравнение: 5x² + 30x = 0
Переходим к решению уравнений, ребята! У нас на очереди квадратное уравнение: 5x² + 30x = 0. Это неполное квадратное уравнение, и решается оно довольно просто, если знать один небольшой трюк. Главный секрет здесь – вынесение общего множителя за скобки. Давайте посмотрим, что общего есть у наших двух членов: 5x² и 30x. Очевидно, что и 5, и 30 делятся на 5. А еще у них есть общая переменная x. Поэтому общий множитель здесь – это 5x. Вынесем его за скобки:
5x(x + 6) = 0
Теперь у нас получился множитель, равный нулю. А мы знаем, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы можем приравнять каждый множитель к нулю и получить два отдельных уравнения:
Первое уравнение: 5x = 0
Чтобы найти x, просто разделим обе стороны на 5:
x = 0 / 5
x = 0
Второе уравнение: x + 6 = 0
Чтобы найти x, просто вычтем 6 из обеих сторон:
x = -6
Итак, у нашего уравнения два корня: x = 0 и x = -6. Поздравляю, вы справились! Решение таких уравнений – это очень важный навык. Понимание того, как выносить общий множитель, поможет вам решать гораздо более сложные уравнения в будущем, включая полные квадратные уравнения. Запомните: если у вас есть уравнение вида ax² + bx = 0, то всегда можно вынести x за скобки (или даже ax, если a и b имеют общий делитель). Это значительно упрощает решение. Не останавливайтесь на достигнутом, практикуйтесь на похожих примерах. Чем больше вы решаете, тем быстрее и увереннее вы будете справляться с подобными задачами. Алгебра – это как спорт: чем больше тренируешься, тем лучше результат. Так что вперед, к новым математическим вершинам!
4. Выносим за скобки общий множитель: 3x⁶ + 6x³ - 15x⁴
Продолжаем развивать навык вынесения общего множителя за скобки, но теперь уже в более сложном выражении: 3x⁶ + 6x³ - 15x⁴. Перед нами не уравнение, а просто выражение, и наша цель – его упростить, вынеся за скобки все, что можно. С чего начнем? Как и в предыдущем примере, ищем общий множитель для коэффициентов (чисел) и для переменных (букв). Итак, коэффициенты у нас: 3, 6 и -15. Самый большой общий делитель для этих чисел – это 3. Теперь посмотрим на переменные: x⁶, x³ и x⁴. При вынесении общего множителя за скобки мы должны выбрать переменную с наименьшей степенью. В данном случае это x³. Итак, наш общий множитель – это 3x³.
Теперь аккуратно выносим его за скобки. Это означает, что мы делим каждый член исходного выражения на 3x³:
- Первый член: 3x⁶ / (3x³) = x⁽⁶⁻³⁾ = x³
- Второй член: 6x³ / (3x³) = (6/3) * x⁽³⁻³⁾ = 2 * x⁰ = 2 * 1 = 2
- Третий член: -15x⁴ / (3x³) = (-15/3) * x⁽⁴⁻³⁾ = -5 * x¹ = -5x
Теперь записываем результат, поместив вынесенный множитель перед скобками, а внутри скобок – то, что получилось после деления:
3x³(x³ + 2 - 5x)
Готово! Мы успешно вынесли общий множитель за скобки. Это выражение теперь выглядит гораздо проще и может быть удобнее для дальнейших преобразований. Важно помнить при работе со степенями: при делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются (xᵃ / xᵇ = xᵃ⁻ᵇ). А любая переменная в нулевой степени (x⁰) равна единице. Практика – ключ к успеху в освоении таких навыков. Попробуйте взять другие выражения и самостоятельно найти общий множитель. Не бойтесь ошибаться, ведь каждая ошибка – это возможность научиться чему-то новому. Упрощение выражений – это основа многих алгебраических манипуляций, поэтому уделяйте этому особое внимание. Продолжайте тренироваться, и скоро вы будете делать это на автомате!